01.01.03 – математическая физика

Специальность
Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь 23 августа 2007г. № 138
 

Цели и задачи программы - минимум

Основная цель программы - минимум состоит в формировании у экза­менуемого такой базы знаний и навыков, которая бы позволила ему проводить самостоятельные научные исследования в данной области.

Требования к уровню знаний

Для усвоения программы - минимум экзаменуемый должен владеть ос­новами теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории диффе­ренциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, физики в объеме университетских курсов математических специальностей.

ПРОГРАММА

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Теорема существования и единственности решения начальной задачи для сис­тем обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.1. Непрерывность и дифференцируемость решений по параметрам и начальным данным.

1.2. Решение линейных уравнений и систем произвольного порядка с постоянными коэффициентами.

1.3. Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Метод ва­риации произвольных постоянных.

1.4. Автономные системы дифференциальных уравнений. Положения равновесия, предельные циклы.

1.5. Устойчивость, теорема Ляпунова.

1.6. Седло, узел, фокус, центр.

II. Интегральные уравнения

2.1. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода.

2.2. Теоремы Фредгольма.

2.3. Теорема Гильберта-Шмидта.

2.4. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению с помощью функций Грина.

III. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных

3.1. Колебательные процессы.

3.2. Теплопроводность и диффузия.

3.3. Электромагнитное поле.

3.4. Уравнение гидро-газодинамики.

IV. Классификация уравнений в частных производных.

4.1. Понятие о характеристиках уравнений в частных производных.

4.2. Теорема Ковалевской.

4.3. Классификация и каноническая форма уравнений в частных про­изводных второго порядка.

4.4. Постановка основных краевых задач: задача Коши, I, II и III крае­вые задачи, смешанные задачи.

4.5. Корректность постановки краевых задач.

V. Эллиптические уравнения.

5.1. Классические решения основных краевых задач для эллиптиче­ских уравнений.

5.2. Уравнение Лапласа. Основные свойства гармонических функций (формула Грина, теорема о среднем, принцип максимума, теорема об устранимой особенности).

5.3. Решение задачи Дирихле и Неймана (внутренней и внешней) ме­тодом потенциалов.

5.4. Функция Грина и её применение к решению задач.

5.5. Формула Пуассона для шара и круга.

5.6. Исследование регулярности точек границы.

5.7. Уравнение Гельмгольца: постановка краевых задач, условия излу­чения, принципы предельной амплитуды и предельного поглоще­ния.

VI. Обобщенные решения.

6.1. Обобщенные решения основных краевых задач для эллиптических уравнений.

6.2. Некоторые теоремы вложения функциональных пространств (про­странство Соболева, неравенства Пуанкаре и Стеклова).

6.3. Задачи на собственные значения для эллиптического уравнения (в частности, задача Штурма-Лиувилля).

6.4. Свойства собственных значений и собственных функций.

6.5. Разложение в ряды по собственных функциям.

VII. Уравнения параболического типа.

7.1. Постановка основных краевых задач.

7.2. Принцип максимума и единственность.

7.3. Тепловые потенциалы.

7.4. Решение смешанной задачи методом разделения переменных.

7.5. Обобщение решения.

7.6. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (формула Пуассона).

VIII. Уравнение гиперболического типа.

8.1. Постановка основных краевых задач.

8.2. Интеграл энергии, единственность.

8.3. Решение смешанной задачи методом Фурье.

8.4. Обобщенные решения.

8.5. Решение задач Коши для волнового уравнения (формулы Далам-бера, Пуассона, Кирхгофа).

8.6. Метод спуска.

8.7. Распространение волн в пространстве, на плоскости и на прямой.

8.8. Методы Даламбера и Римана для решения задачи Коши и Гурса в случае одной пространственной переменной.

IX. Обобщенные функции.

9.1. Обобщенные функции и их свойства.

9.2. Построение фундаментальньіх решений линейных дифференци­альных операторов с постоянными коэффициентами.

9.3. Решение обобщенной задачи Коши для волнового уравнения.

X. Нелинейные уравнения.

10.1. Уравнения газовой динамики (ударные волны, слабые разрывы, автомодельные решения).

10.2. Полулинейные эллиптические уравнения (существование и отсут­ствие целых решений).

10.3. Уравнение нестационарной фильтрации (обобщенное решение, конечная скорость распространения возмущений, регулярность решений).

XI. Некорректно поставленные задачи.

11.1. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода и методы их регуляризации.

11.2. Общие методы регуляризации некорректно поставленных задач.

XII. Метод конечных разностей.

12.1. Общие сведения.

12.2. Метод конечных разностей для решения задачи Дирихле.

12.3. Разностные схемы для уравнения теплопроводности.

12.4. Устойчивость разностных схем.

XIII. Элементы функционального анализа.

13.1. Линейные нормированные пространства. Банаховы пространства. Гильбертовы пространства.

13.2. Пространства Лебега и Соболева. Построение элемента наилучше­го приближения в гильбертовых и банаховых пространствах.

13.3. Непрерывность, ограниченность и норма линейного оператора. Пространство ограниченных линейных операторов. Обратные операторы. Замкнутые операторы.

13.4. Непрерывные линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха. Структура сопряженного пространства. Слабая сходимость. Реф­лексивность. Сопряженные операторы.

13.5. Компактные множества в нормированных пространствах. Линей­ные вполне непрерывные операторы.

13.6. Спектр линейного оператора. Спектр вполне непрерывного и са­мосопряженного оператора. Неограниченные операторы в гиль­бертовом пространстве.

XIV. Квантовая механика.

14.1. Основные положения квантовой механики. Принцип неопреде­ленности и принцип суперпозиции.

14.2. Квантование. Представление Фока. Координатное и импульсное представления.

14.3. Операторы энергии и импульса. Гамильтониан. Уравнение Гей-зенберга. Соотношение неопределенности.

14.4. Уравнение Шредингера. Одномерное движение и одномерный ос­циллятор. Потенциальная яма. Прохождение через барьер.

14.5. Движение в центральном поле. Атом водорода. Разложение пло­ской волны.

14.6. Уравнение Дирака. Спин.

14.7. Тождественность частиц и принцип неразличимости. Связь спина со статистикой. Бозоны и фермионы.

14.8. Движение в магнитном поле. Уравнение Шредингера в электриче­ском и магнитном полях. Плотность потока.

14.9. Квантовая теория рассеяния. Матрица рассеяния. Формула Бора. Резонансное рассеяние. Упругое рассеяние.

Список литературы

  1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., «Наука», 1974.
  2. Смирнов В. И. Курс высшей математики, Т. IV, М., Физматгиз, 1957.
  3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, М., «Наука», 1972.
  4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики, М., «Наука», 1976.
  5. Петровский В. Г. Лекции об уравнениях с частными производными, Физ­матгиз, 1961.
  6. Самарский А. А. Теория разностных схем, М., «Наука», 1977.
  7. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики, М., «Наука», 1976.
  8. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных, М., «Наука», 1976.
  9. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики, М., «Наука», 1973.
  10. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач, М., «Наука», 1974.
  11. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильберто­вом пространстве.- М.: Наука, 1966. - 544 с.
  12. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. -М.: Наука, 1972 - 415 с.
  13. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. - М.: ИЛ, 1962. - 896 с.
  14. Иосида К. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967.- 624 с.
  15. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функцио­нального анализа - М.: Наука, 1981 - 543 с.
  16. Красносельскйй М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейно­го анализа.-М.: Наука, 1975.- 511 с.
  17. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.-М.: Мир, 1972.-588 с.
  18. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ.- М.: Мир, 1988. -510 с.
  19. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.
  20. Березин Ф.А., Шубин М.А. Лекции по квантовой механике. М.: Изд-во МГУ, 1972.
  21. Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
  22. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976.