01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел *

* Приказ Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь от 23 августа 2007 г. № 138
 

Цели и задачи программы-минимума кандидатского экзамена по специальности 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел - обеспечить изучение будущим специалистам высшей квалификации важнейших понятий, идей и методов алгебры и теории чисел, необходимых для ее развития и находящих многочисленные приближения в различных областях науки и технологии. Специальное внимание уделяется разделам алгебры и теории чисел, интенсивно развивающимся в Беларуси: теории конечномерных алгебр, в особенности, группа Брауэра полей и алгебраических многообразий, теории линейных и конечных групп, алгебраическим группам, теории представлений, диофантовым приближениям и диофантовым уравнениям, метрической  теории трансцендентных чисел, равномерному распределению последовательностей, задачам факторизации и дискретного логарифмирования.

Уровень полученных знаний должен быть достаточным для самостоятельной научной работы в области алгебры и теории чисел.

Математическая логика и теория алгоритмов

  1. Понятие алгоритма и его уточнения. Вычислимость по Тьюрингу и по Маркову, частично рекурсивные функции, рекурсивно перечислимые и рекурсивные множества. Тезис Черча ([9], гл. 5, §§ 1-3; [8], §§ 1-4, 11-12; [7], §§ 35-37).
  2. Универсальные вычислимые функции Существование перечисленного неразрешимого множества. Алгебраические проблемы ([9], гл. 5, §§3-4; [8], §§ 5-6, 12).
  3. Построение полугруппы с неразрешимой проблемой распознавания равенства ([8], § 13).
  4. Логика высказываний. Представимость булевых функций формулами логики высказываний. Конъюктивные и дизъюктивные нормальные формы ([7], §§1-6; [10], гл. 1).
  5. Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость ([9], гл. 1, § 4; [10], гл. 2, §§3-10).
  6. Логика предикатов. Приведение формул логики предикатов к предваренной нормальной форме. Нормальная форма Сколема ([7], §§ 15,16, 20; [9], гл. 2, § 10; [10], гл. 3, §§ 1-3, 9; гл. 4, § 14).
  7. Исчисление предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции ([7], §§ 18, 22; [9], гл. 2, §§ 1-4; [10], гл. 4, §§ 1-8).
  8. Полнота исчисления предикатов. Теорема Мальцева о компактности ([9], гл.2, §5; [7], §17; [10], гл. 4, §16).
  9. Теорема Эрбана ([7], § 33; [6], гл. 3, §§ 3-4).
  10. Элементарные  теории  классов  алгебраических  систем, аксиоматизируемые классы.Критерий аксиоматизируемости ([7],§§ 24-25).
  11. Категоричные в данной мощности теории. Теорема о полноте теории, категоричной в бесконечной мощности ([7], § 29).
  12. Разрешимые теории. Теория плотного линейного порядка ([9], гл. 2, § 12).
  13. Формальная  арифметика.  Теорема о представимости вычислимых функций в формальной арифметике ([9], гл. 3, §§ 1-3).
  14. Теорема Геделя о неполноте формальной арифметики ([9], гл. 3, §§ 4-5).
  15. Неразрешимость алгоритмической проблемы выводимости для арифметики и логики предикатов ([9], гл. 3, § 6; [7], §§37-38).
  16. Аксиоматическая теория множеств. Порядковые числа, принцип трансфинитной индукции. Аксиома выбора, континуум-гипотеза ([9], гл. 4).

Литература

  1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
  3. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.
  4. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.
  5. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.
  6. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств. М.: Наука, 1981.
  7. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. Изд. 2-е. М.: Наука, 1987.
  8. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, 1965.
  9. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. Изд. 3-е. М.: Наука, 1984.
  10. Новиков П.С. Элементы математической логики Изд. 2-е. М.: Наука, 1973.

Для специализации "алгебра и теория чисел"

I. Алгебра

  1. Теоремы Силова о конечных группах ([2], гл. 7, § 4).
  2. Простота знакопеременной группы и группы вращений трехмерного пространства ([1], гл. 7, § 55; [2], гл. 7, §§ 1, 3).
  3. Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах ([2], гл. 7, § 5; [4], Приложение).
  4. Свободные группы. Теорема о подгруппах свободной группы. Определяющие соотношения: группы диэдра и кватернионов ([2], гл. 7, § 3; [4], гл. 5, § 1).
  5. Конечные разрешимые группы. Теорема Холла о конечных разрешимых группах ([17], гл. 7, § 20).
  6. Радикал кольца. Простота полного матричного кольца над телом. Тензорное произведение алгебр; простота тензорного произведения ([1], гл. 13; [4], гл. 4, §§5, 6).
  7. Структурная теорема о полупростых и простых кольцах с условием минимальности ([1], гл. 13; [4], гл. 4, § 6).
  8. Группа Брауэра поля. Теорема Фробениуса о конечномерных телах над полем вещественных чисел ([1], гл. 14, § 114; [4], гл. 6, § 3).
  9. Теорема Веддерберна о конечных телах. Теорема Тзена ([13], гл. 19, § 4; [14], гл. 1, §8).
  10. Нетеровы кольца и модули: теорема Гильберта о базисе ([1], гл. 15, § 115; [3],ч.3,§11;[4],гл.4,§3).
  11. Теория  делимости  в  кольцах.  Евклидовы  кольца.  Теорема  о факториальности  кольца многочленов  многих  переменных  ([1], гл. 3, §§16-18; [2], гл.5, §3; гл. 9, § 2).
  12. Нормальная  форма  матрицы  линейного  оператора  в  комплексном  и вещественном линейных пространствах ([2], доп. к гл. 9; [3], ч. 1, §§ 9, 12).
  13. Полная и специальная линейные группы над полем. Порождение специальной линейной группы трансвекциями. Инвариантные подгруппы полной и специальной линейных групп (без анализа исключительных случаев) ([5], гл. 2, §§ 8 – 10).
  14. Аффинные и проективные многообразия. Топология Зариского. Неприводимые компоненты. Произведение аффинных и проективных многообразий ([15], гл. 1; [3] § 1).
  15. Определение алгебраической группы. Примеры алгебраических групп. Морфизмы алгебраических групп. Связная компонента единицы. Нормализатор и централизатор замкнутых подгрупп ([15], гл. 2, §§ 1 – 8).
  16. Канонический вид матрицы билинейной формы и линейного оператора – унитарного, кососимметрического и симметрического ([15], ч. 2, §§ 3 – 10).
  17. Основы линейных представлений. Теорема Машке. Лемма Шура о гомоморфизмах простых модулей. Соотношения ортогональности для характеров. Одномерные представления конечных групп ([1], гл. 14, § 108; [2], гл. 8, §§ 1, 2, 4, 5).
  18. Индуцированные представления. Закон взаимности Фробениуса. Разложения регулярного характера ([11], гл. 18, §§ 6 – 8).
  19. Алгебраические расширения полей: теорема о примитивном элементе. Поле разложения многочленов: существование и единственность. Основная теорема Галуа ([1], гл. 6, §§ 39 – 441, гл. 8, §§57 – 58; [2], гл. 6, §3, гл. 9, § 1; [4], гл. 6, §§ 1 – 2).
  20. Конечные поля, их подполя и автоморфизм. Теорема о коммутативности конечных тел ([1], гл. 6, § 43; [2], гл. 9, §1; [4], гл. 6, §3).
  21. Гомологическая алгебра. Категории ([4], гл. 4, § 7, гл. 8, § 1).
  22. Аксиоматическая теория множеств. Ординалы и кардиналы. Аксиома выбора, континуум-гипотеза. Трансфинитная индукция ([18], §§ 13 – 14).
  23. Радикальные и корадикальные классы групп ([9], гл. 4; [17], гл. 1).
  24. Классы Фитинга с заданными свойствами радикалов и холловых подгрупп ([19], гл. 9 – 10).
  25. Нормальные классы Фитинга ([9], гл. 10).

II. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

  1. Квадратичный закон взаимности ([7] , гл. 5, §§ 1 – 2).
  2. Первообразные корни и индексы ([7] , гл. 6).
  3. Тригонометрические суммы. Модуль гауссовой суммы ([6] , гл. 1, §§ 1 – 2).
  4. Теоремы Вейля о равномерном распределении ([8] , гл. 1, § 2).
  5. Разложимые формы. Полные модули и их кольца множителей ([6] , гл. 2, §§ 1 – 2).
  6. Теорема Дирихле о единицах ([6] , гл. 2, §§ 3 – 4).
  7. Представление рациональных чисел разложимыми формами ([6] , гл. 2, § 5).
  8. Неравенства Чебышева для функции π(x) ([10] , гл. 1, § 4).
  9. Дзета-функция Римана и ее свойства ([10] , гл. 2, §§ 1 – 2; [8] , гл. 4).
  10. Характеры Дирихле и их свойства ([7] , гл. 7; [8] , гл. 8, § 1).
  11. Проблема Варинга (без доказательства) ([8] , гл. 6, § 1, гл. 2).
  12. Приближение вещественных чисел рациональными дробями. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Примеры трансцендентных чисел ([10] , гл. 4, §§ 2 – 3).
  13. Трансцендентность чисел е и π ([10] , гл. 4, §§ 4 – 5).
  14. Теорема Хинчина ([10] , гл. 1, §§ 1 – 3).

Литература

  1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
  3. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.
  4. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.
  5. Супруненко Д.А. Группы матриц. М.: Наука, 1972.
  6. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.
  7. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.
  8. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.
  9. Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.: Наука, 1972.
  10. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. Изд-во МГУ, 1984.
  11. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.
  12. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974.
  13. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986.
  14. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969.
  15. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. М.: Наука, 1980.
  16. Спринджук В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений. М.: Наука, 1977.
  17. Каргаполов М.И., Мерзляков Д.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1996.
  18. Ершов Ю.И., Палютин Е.А. Математическая логика. М.: Наука, 1987.
  19. Doerk K., Hawres T. Finite soluble groups. Berlin-New York: De Gruyter, 1992.

Для специализации "алгебра и математическая логика"

I. Алгебра

  1. Теоремы Силова о конечных группах ([2], гл. 7, § 4).
  2. Простота знакопеременной группы и группы вращений трехмерного пространства ([1], гл. 7, § 55; [2], гл. 7, §§ 1, 3).
  3. Свободные группы. Теорема о подгруппах свободной группы. Определяющие соотношения: группы диэдра и кватернионов ([2], гл. 7, § 3; [4], гл. 5, § 1).
  4. Радикал кольца Простота полного матричного кольца над телом. Тензорное произведение алгебр; простота тензорного произведения ([1], гл. 13; [4], гл. 4, §§5-6).
  5. Структурная теорема о полупростых и простых кольцах с условием минимальности ([1], гл. 13; [4], гл. 4, § 6).
  6. Группа Брауэра поля. Теорема Фробениуса о конечномерных телах над полем вещественных чисел ([1], гл. 14, § 114; [4], гл. 6, § 3).
  7. Теорема Биркгофа-Витта об универсальных обертывающих алгебрах для алгебр Ли ([4], гл. 5, § 4).
  8. Нетеровы кольца и модули: теорема Гильберта о базисе ([1], гл. 15, §115; [3], ч. 3, § II; [4], гл. 4, § 3).
  9. Нормальная форма матрицы линейного оператора в комплексном и  вещественном линейных пространствах ([2],доп. к гл. 9; [3], ч. 1, §§ 9, 12).
  10. Канонический вид матрицы билинейной формы и линейного оператора - унитарного, кососимметрического и симметрического ([3], ч. II, §§ 3-10).
  11. Основы теории линейных представлений. Теорема Машке. Лемма Шура о гомоморфизмах простых модулей.  Соотношения  ортогональности для характеров. Одномерные представления конечных групп ([1], гл. 14, § 108; [2], гл. 8, §§1,2,4,5).
  12. Алгебраические расширения полей: теорема о  примитивном элементе. Поле разложения многочлена: существование и единственность. Основная теорема теории Галуа ([1], гл. 6; [3], §§ 39-41, гл. 8; §§ 57-58; [2],гл. 6, § 3; гл. 9, §1; [4], гл. 6; [3], §§ 1-2).
  13. Конечные поля, их подполя и автоморфизмы. Теорема о коммутативности конечных тел ([1], гл. 6, § 43; [2], гл. 9. § 1; [4], гл. 6, § 3).
  14. Алгебраические системы (структуры). Свободные алгебры. Многообразие алгебр.  Теорема  Биркгофа  о  строении  многообразия,  порожденного данными алгебрами ([4], гл. 11, § 2).
  15. Решетки.  Дедекиндовы  решетки.  Теорема  о  композиционных   рядах; приложение к группам, кольцам и модулям. Строение  дистрибутивных решеток. Теорема Стоуна для конечных булевых алгебр ([4], гл. 3, §§ 2-4).
  16. Фильтры, ультрафильтры, ультрапроизведения. Теорема об элементарной эквивалентности алгебраической системы и ее ультрастепени ([5],гл.4,§8).